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Technische Universität München

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Institut für Astronomische und Physikalische Geodäsie

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Satellitengradiometrie mit GOCE

Satellitengradiometrie ist die Bestimmung der zweiten Ableitungen des Gravitationspotentials der Erde vom Weltraum aus. Realisiert werden kann dieses Messprinzip mit einer Anordnung mehrerer Beschleunigungsmesser (= ein Gradiometer) an Bord eines Satelliten, die Beschleunigungsdifferenzen messen.

 

GOCE Gradiometer

Mit GOCE wird zum ersten mal in der Geschichte ein Gradiometer im Weltraum eingesetzt, um das Schwerefeld der Erde zu bestimmen. Das GOCE Schweregradiometer ist daher eines der wichtigsten Instrumente des Satelliten. Es besteht aus drei Paaren identischer Beschleunigungsmesser, welche auf drei zueinander senkrechten Armen angebracht sind. Mit dieser Anordnung ist es möglich, direkt im Weltraum alle Komponenten des Schweregradienten-Tensors zu messen.

                                                                          

                                             Abb. 1                                                              Abb. 2

 

Anordnung der sechs Beschleunigungsmesser

Jeder der sechs Akzelerometer, die das GOCE Gradiometer formen, hat zwei extrem sensitive Achsen (Genauigkeit von 10-12 m/s2) und eine weniger sensitive Achse (Genauigkeit von 10-10 m/s2). Es ist daher unmöglich, alle Komponenten des Schweregradienten-Tensors gleich genau zu bestimmen. Die gewählte Anordnung der hochsensitiven Achsen (durchgezogene Linien in Abb. 2) und der weniger sensitiven Achsen (gestrichelte Linien in Abb. 2) hat zwei gravierende Vorteile:

  •   Die Hauptdiagonalelemente des Schweregradienten-Tensors, welche den größten Teil der Schwerefeldinformation enthalten, können bestmöglich bestimmt werden.
  •   Außerdem kann so die Winkelgeschwindigkeit um die Achse senkrecht zur Bahnebene hochgenau bestimmt werden. Dies ist wichtig, da um diese Achse die größten Winkelgeschwindigkeiten auftreten.

 

Grundlegende Gleichungen

Insgesamt werden 18 Beschleunigungen gemessen. Vernachlässigt man mögliche Fehler, wie einen konstanten Versatz in den Beschleunigungsmessungen, Skalierungsfaktoren, kleine Abweichungen der Akzelerometerachsen von ihrer nominellen Lage usw., so bestehen die gemessenen Beschleunigungen aus den folgenden drei Termen:

Term 1:   Beschleunigung aufgrund des Gravitationspotentials

Term 2:   Beschleunigung aufgrund von Änderungen in der Drehgeschwindigkeit des Satelliten

Term 3:   Zentrifugalbeschleunigung, hervorgerufen durch die Drehung des Satelliten

 

mit:    a   gemessene Beschleunigung;   r    Abstand zum Massenzentrum;   ω  Winkelgeschwindigkeit; %5Cdot%7B%5Comega%7D  Winkelbeschleunigung

 

Aus den gemessenen Beschleunigungen werden 9 differential mode (ad,i,j,k) und 9 common mode (ac,i,j,k) Beschleunigungen zwischen den Messungen entlang der drei Gradiometerachsen gebildet:

 ad,i,j,k = 1/2 (ai,k - aj,k)      ac,i,j,k = 1/2 (ai,k + aj,k)

mit:    i/j   Akzelerometerpaar (1/4, 2/5 oder 3/6);   k    Messrichtung (X, Y oder Z)

Die common mode Beschleunigungen beinhalten Information über die linearen Störbeschleunigungen, welche auf den Satelliten wirken, und können daher benutzt werden, um gerade diese Störbeschleunigungen zu kompensieren, d.h. um den Satelliten gezielt gegenzusteuern (drag compensation).

Die gesuchten Komponenten des Schweregradienten-Tensors können aus den differential mode Beschleunigungen sowie den Winkelgeschwindigkeiten und Winkelbeschleunigungen des Satelliten wie folgt berechnet werden:

 

 

Aufgrund zweier grundlegender Eigenschaften des Gravitationsfeldes ist es ausreichend, die Formeln für nur 6 Komponenten des Schweregradienten-Tensors anzugeben. Erstens ist das Gravitationsfeld ein konservatives Feld. Der Schweregradienten-Tensor ist daher symmetrisch. Zweitens erfüllt das Gravitationsfeld die Laplace-Gleichung, welche außerhalb der Massenverteilung Null ist. Das bedeutet, dass die Spur des Schweregradienten-Tensors Null sein muss.

Für eine genauere Analyse der Grundgleichungen der Satellitengradiometrie mit GOCE siehe Diplomarbeit Stummer.

 

Fehlerspektrum der Schweregradienten

Aus Simulationsdaten der GOCE Schwerefeldmission können die Fehlerspektraldichten der Schweregradienten berechnet werden (Abb. 3). Wieder kann man sehen, dass die extrem hohe Genauigkeit von wenigen mE/sqrt(Hz) (E = Eötvös; 1E = 10-9 s-2) nur für die Hauptdiagonalelemente und die XZ-Komponente erreicht werden kann. Außerdem ist es nur innerhalb des Messbandes des Gradiometers, welches zwischen 5 und 100 mHz liegt (gestrichelte vertikale Linien in Abb. 3), überhaupt möglich, solch extrem genaue Ergebnisse zu erzielen.

Siehe auch Poster GOCE Gradiometry - A Guide for Users.

 
Abb. 3

 

Kontakt 

Claudia Stummer